Декартово произведение

Определение

**Декартово произведение** двух множеств A и B — это множество всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B. Обозначается как A × B:

A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

Аналогично определяется декартово произведение n множеств A₁, A₂, ..., Aₙ:

A₁ × A₂ × ... × Aₙ = { (a₁, a₂, ..., aₙ) | a₁ ∈ A₁, a₂ ∈ A₂, ..., aₙ ∈ Aₙ }

Элементы декартова произведения называются **кортежами** (или векторами), а число n — длиной кортежа.

Свойства

1. **Мощность декартова произведения**

Если множества конечны, то мощность декартова произведения равна произведению мощностей:

|A × B| = |A| · |B|

Для n множеств:

|A₁ × A₂ × ... × Aₙ| = |A₁| · |A₂| · ... · |Aₙ|

2. **Неассоциативность и некоммутативность**

В общем случае:
- A × B ≠ B × A (некоммутативность), если A ≠ B
- (A × B) × C ≠ A × (B × C) (неассоциативность), так как элементы первого являются парами вида ((a, b), c), а второго — (a, (b, c))

3. **Дистрибутивность относительно операций над множествами**

Декартово произведение дистрибутивно относительно объединения, пересечения и разности:
- A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
- (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
- A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
- (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
- A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)
- (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C)

4. **Произведение с пустым множеством**

Если хотя бы одно из множеств пусто, то декартово произведение пусто:

A × ∅ = ∅ × A = ∅

5. **Произведение подмножеств**

Если A ⊆ C и B ⊆ D, то:

A × B ⊆ C × D

6. **Проекции**

Для декартова произведения A × B определены **проекции**:
- Первая проекция: π₁: A × B → A, π₁(a, b) = a
- Вторая проекция: π₂: A × B → B, π₂(a, b) = b

7. **Геометрическая интерпретация**

Если A и B — числовые множества (например, отрезки вещественной прямой), то A × B можно интерпретировать как прямоугольник на плоскости. В общем случае декартово произведение ℝⁿ = ℝ × ... × ℝ есть n-мерное евклидово пространство.

8. **Связь с понятием отношения и функции**

• Любое подмножество R ⊆ A × B называется **бинарным отношением** между A и B
• **Функция** f: A → B — это отношение, в котором каждый элемент a ∈ A встречается ровно один раз в качестве первой компоненты

9. **Прямая степень**

Декартово произведение множества на себя n раз называется **прямой степенью**:

Aⁿ = A × A × ... × A (n раз)

При n = 2 получаем множество всех упорядоченных пар элементов из A.